Polynomdivision Erklärung Beispiel Übungen

Bevor ich Ihnen erkläre wie eine Polynomdivision zu lösen ist , muss erst mal geprüft werden, ob die Allgemeine Division verstanden ist.

Daher versuche ich eine Art Treppe zu bilden, so dass von der Grundlage alles verstanden wird.

Die Polynomdivision ist als eine Art Erweiterung zu sehen, oder als "anspruchsvolle Division".

Bei der normalen Division hat man einen Dividenden, der durch einen Divisor geteilt wird. Das Ergebnis entspricht dann dem Quotienten.

Auch wenn diese Erklärung eigentlich leicht zu verstehen ist, ist es anschaulicher mit einem Beispiel.

a) 10 : 5 = 2

10 ist der Dividend,
5 ist der Divisor
2 ist das Ergebnis, der Quotient aus 10 und 5.

Diese einfache Rechenaufgabe kann man jetzt erweitern, entweder mit Faktor 2, dann würde die Gleichung heißen:

 

b) 20 : 10 = 2

Erweitern heißt, dass der Dividend in unserem Fall 10 und auch der Divisor in unserem Fall 5 mit dem Faktor multipliziert werden muss. Der gebildete Quotient aus 20 und 10 ergibt 2.

20 ist der Dividend,
10 der Divisor,
2 ist das Ergebnis

So jetzt haben wir verstanden was eine Erweiterung ist, jetzt gehen wir einen Schritt weiter und erweitern die Gleichung in a) nicht mit einem Faktor, sondern mit einer Variablen, zum Beispiel x.

Die jetzt zu betrachtende Gleichung lautet:

1.) 20x : 10 = 2x
2.) 20x : 10x = 2

Wie beim Dividenden beinhaltet das Ergebnis der 1. Gleichung die Variable x.
Bei der 2.Gleichung fällt die Variable x weg, weil sie "gekürzt" wird, durch das x des Divisors.

Es ist zu beachten, dass immer die Variablen berücksichtigt werden und nicht einfach wegbleiben!

Jetzt haben wir die Grundkenntnisse einwenig aufgefrischt und können uns der eigentlichen Problemstellung widmen.

Der Durchführung der Polynomdivision.

Beispiel für ein ein einfaches Polynom P(x):

P(x)=x2-2x-3

Wie man im Beispiel sieht, besteht dieses Polynom aus der Addition von Vielfachen von Potenzen mit einer Variablen.

Die höchste potenz ist die 2
zweithöchste potenz ist 1 für das x , denn x bedeutet eigentlich x1
dritthöchste potenz ist 0 bei der 6, denn 6 bedeutet eigentlich 6×0

Um dieses Polynom zu lösen, also zu vereinfachen, muss versucht werden durch Probieren herauszufinden,

für welche Werte das Polynom gleich null ist ,

Voraussetzung: also P(x)=0.

Versuchen wir es mal mit x=1, daraus folgt :

P(1)=(1)2-2(1)-3 => P(1)=-4, dieses Ergebnis entspricht nicht der Voraussetzung, also ist x=1 keine Lösung.

Versuchen wir es mal mit x=-1, daraus folgt:

P(-1)=(-1)2-2(-1)-3 => P(-1)=0, somit ist die Voraussetzung erfüllt und ein Ergebnis gefunden.

Jetzt ist eine Nullstelle gefunden, somit dann nun begonnen werden, dass Polynom P(x) zu vereinfachen.

Indem man das Ausgangspolynom P(x) durch den Divisor (x-Nullstelle) teilt.

Da die gefundene Nullstelle x=-1 ist, lautet der Divisor (x-(-1)) = (x+1)

Nun kann die Polynomdivision durchgeführt werden:

Dividend: P(x)=x2-2x-3

Divisor: (x+1)

(x2-2x-3) : (x+1) =

Wie bei der normalen Division, betrachtet man sich den höchsten Potenzen im Dividenden, das ist die 2 vom x2.

Also lautet das erste Teilergebnis x, ihn Multipliziert man jetzt mit dem Divisor und zieht ihn vom Dividenden ab.

(x2-2x-3) : (x+1) = x
-(x2+1x)

-3x-3

Der Rest der übrig bleibt ist -3x zu ihm addiert man die -3 aus dem Dividenden, so dass der gesamte Rest (-3x+3) beträgt.

diesen gesamten Rest teilt man wiederum durch den Divisor und erhält als zweites Teilergebnis die -3

(x2-2x-3) : (x+1) = x-3
-(x2+1x)

-3x-3
-3x-3

0

Da der übrigbleibende Rest 0 ist, ist diese Aufgabe gelöst, mit der Lösung:

P(x)=x2-2x-3=(x+1)*(x-3)

Dies war ein Beispiel für ein einfaches Polynom, die Grundlage der für höhere Polynome, d.h. mit höheren Potenzen ist die gleiche, das Ausprobieren der Nullstellen.

Als Tipp sei gesagt, dass man mit den einfachsten Zahlen beginnt bei der Nullstellensuche, also:

-3 / -2 / -1 / 1 / 2 / 3, falls diese Zahlen zu keiner Nullstelle führen, kann man sich den übrigen Zahlen

beschäftigen.

Auch was sehr häufig gemacht wird ist, dass die Potenzen nicht nach ihrer abfallenden Wertigkeit geordnet sind, im Klartext:

P(x)=x2+x3+24-14x

Der erste Schritt wäre jetzt eine "Ordnung" herzustellen, die wie folgt lauten würde:

P(x)=x3+x2-14x+24

Nun kann begonnen mit dem Polynomdivision begonnen werden, wünsche Gutes gelingen.